Las funciones racionales son del tipo:
El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.
Ejemplo
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
.
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
Construcción de hipérbolas
Las
hipérbolas son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.
El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
Definición: Si
P(x) y Q(x) son polinomios,
la función de la forma:
se llama una función racional, donde Q(x) es diferente
de cero.
Ejemplos:
El
dominio de
las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales
tal que
el denominador sea diferente
de cero.
Ejemplo
para discusión: ¿Cuál es el dominio de cada una de las
siguientes funciones?
Teorema: Sea f una función racional
definida de la forma:
donde P(x) y Q(x) son polinomios. Si a es un número real que Q(a) = 0 y P(a) es diferente de cero, entonces la recta
x = a es una asíntota vertical
de la gráfica de y = f(x).
Ejemplos
para discusión: Halla las asíntotas verticales
para cada de las siguientes funciones:
Teorema: Sea f una función racional
definida por el cociente de dos polinomios,
entonces:
1)
Para m < n,
la recta y = 0 (el eje x) es una
asíntota horizontal.
2)
Para m = n, la recta y = am/bn,
es una asíntota horizontal.
3)
Para m > n,
no hay asíntotas horizontales.
Ejemplos
para discusión: Halla las asíntotas horizontales
para cada una de las siguientes
funciones:
Gráfica
de funciones racionales
Ahora utilizaremos las
técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.
Ejemplos
para discusión: Dibuja la gráfica de:
Ejercicio
de práctica: Halla las asíntotas
verticales y horizontales para cada una
de las siguientes funciones. Dibuja la gráfica.
Teorema: Si
f es una función definida de la forma:
donde P(x) y Q(x) son polinomios
y el grado de P(x) es 1 más que el grado
de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:
donde el grado de r(x) es menor que
el grado de Q(x).
La recta y = mx
+ b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.
