las funciones racionales

Las funciones racionales son del tipo:

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Ejemplo

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

  .

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones   

Construcción de hipérbolas

Las hipérbolas   son las más sencillas de representar.

Sus asítontas son los ejes

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.

A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

1. Traslación vertical

El centro de la hipérbola es: (0, a).

Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, 3)

Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

2. Traslación horizontal

El centro de la hipérbola es: (-b, 0).

Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.

El centro de la hipérbola es: (-3, 0)

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

El centro de la hipérbola es: (3, 0)

3. Traslación oblicua

El centro de la hipérbola es: (-b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4).

Para representar hipérbolas del tipo:

se divide y se escribe como:

Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes.

El centro de la hipérbola es: (-1, 3) 

Definición:  Si P(x)  y  Q(x) son polinomios, la función de la forma:

se llama una función racional, donde Q(x) es diferente de cero.

Ejemplos:

El dominio de las funciones racionales es el conjunto de todos los números reales tal que el denominador sea diferente de cero.

Ejemplo para discusión:  ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones?

Teorema:  Sea f una función racional definida de la forma:

donde P(x)  y  Q(x) son polinomios.  Si a es un número real que Q(a) = 0 y  P(a) es diferente de cero, entonces  la recta  x = a  es  una  asíntota  vertical  de la gráfica de  y = f(x).

Ejemplos para discusión:  Halla las asíntotas verticales para cada de las siguientes funciones:

Teorema:  Sea f una función racional definida por el cociente de dos polinomios,

entonces:

1) Para m < n,  la recta y = 0 (el eje x) es una asíntota horizontal.

2) Para m = n, la recta  y = a_m/b_n, es una asíntota horizontal.

3) Para m > n,  no hay asíntotas horizontales.

Ejemplos para discusión:  Halla las asíntotas horizontales para cada una de las siguientes funciones:

Gráfica de funciones racionales

 Ahora utilizaremos las técnicas de interceptos y asíntotas para graficar algunas funciones racionales.

Ejemplos para discusión:  Dibuja la gráfica de:

Ejercicio de práctica:  Halla las asíntotas verticales y horizontales para cada una de las siguientes funciones.  Dibuja la gráfica.

Teorema:  Si f es una función definida de la forma:

donde P(x)  y  Q(x) son polinomios y el grado de P(x) es 1 más que el grado de Q(x), entonces se puede expresar de la forma:

donde el grado de r(x) es menor que el grado de Q(x).  La recta y = mx + b es una asíntota oblicua para la gráfica de f.